庞加莱是最后一个把全部的数学（包括纯粹数学和应用数学两方面）作为自己的研究领域的人。今天，任何人都不可能全面地理解数学的四个主要部分——算术、代数、几何、分析中的两个以上，更不用说做出高质量的创造性工作了，再对天文学和物理学有全面理解就更谈不上了。很少有几个数学家具有庞加莱那样宽广的哲学观点。他对科学和数学的哲学深感兴趣。由于通俗著作的文学成就，庞加莱被授予法国作家所能得到的最高荣誉，成为法兰西学院文学部院士。
一切在物理学坩锅中沸腾的东西只要一出现，庞加莱就会立刻掌握它们，把它们构成几个纯数学研究的题目。当无线电报发明时，他抓住这个新东西，创立了关于无线电报的数学。当其他人无视爱因斯坦关于（狭义）相对论的早期研究时，庞加莱已经在忙着相对论数学了。对于普朗克量子理论的早期形式也是如此。现在看来，数学物理学对于庞加莱，犹如谷神星对于高斯。庞加莱拥有超强的记忆力。这种罕见的本领可以称为视觉记忆或空间记忆，欧拉也具有这种本领，不过程度差一些。和黎曼一样，庞加莱还具有敏锐的空间直觉。
微分方程
(资料图片)
庞加莱的第一次成功是在微分方程理论方面，他把分析学的全部方法应用于微分方程，他绝对是分析学的大师。选择这个作为早期主要的努力方向，已经表明庞加莱对数学应用的倾向，因为自从牛顿时代以来，微分方程吸引了众多的工作者，主要是因为它们在物理世界的探索中具有的重要性。
“纯”数学家的一切活动都服从于自己的趣味。一些最纯粹的数学家，终生孜孜不倦地致力于微分方程，这些方程首先出现在将物理现实转变成数学符号之中，实际上恰恰是这些人提出了这一理论核心的微分方程。由科学提出的一个特殊的方程，可以被数学家们推广，然后转回到科学家手里，以便应用到新的物理问题上。傅里叶的一段名言说明了这一点，
对自然的深入研究，是数学发现的最丰厚的源泉。这种研究通过提出一个明确目标，不仅有排除含糊的问题和无用的计算的优点，而且也是一个形成分析本身和发现分析中那些原理的可靠方法。这些基本的原理，就是在自然现象中反复出现的那些原理。
庞加莱深受这一观点（思想）的影响和鼓舞。在微分方程上的研究，导致了庞加莱的第一个最好的发现，即椭圆函数的推广。庞加莱发现周期性只是某种更普遍性质的特例∶当变量由它自身的可数无限多个线性分式变换之一代替时，某些特定函数的值还原，所有这些变换形成一个群。几个符号就能讲清楚这个论断。
设z被（az+b）/（cz+d）代替。那么对于a，b，c，d之值的某个可数无限集，存在z的一些单值函数，比如说其中之一为F（z），使得
进而，如果a_1，b_1，c_1，d_1，和a_2，b_2，c_2，d_2是a，b，c，d的值集中的任意两个，又如果z先被
代替，然后在这个式子中，z被
代替，得到比如说
那么我们不仅有
而且有
更进一步，如刚才解释的那样保持F（z）的值不变的所有置换
的集合形成一个群∶集合中两个置换相继实施的结果
仍在集合中；集合中有一个“恒等置换”，即z→z（这里a=1，b=0，c=0，d=1）；最后，每一个置换有一个唯一的“逆”，就是说，对于集合中的每一个置换，有一个独立的另一个置换，如果把它作用到第一个置换上去，就产生恒等置换。总之，我们看出F（z）是一个在一个线性分式变换的无限群下不变的函数。注意，置换的无限是可数的无限∶置换能用1，2，3，…数出来，不像直线上的点那样多（线段上的点是不可数的无限）。庞加莱实际构造出了这样的函数，他在19世纪80年代的一系列文章中发展了它们的最重要的性质。这样的函数称为自守函数。
这里只须说两点，以指出庞加莱用这个奇妙的创造取得了什么样的成就。首先，他的理论把椭圆函数理论作为一个特例包括在内。其次，庞加莱发现了两个值得注意的命题，这些命题“给了他代数和谐的钥匙”∶
在同一个群下不变的两个自守函数，是由一个代数方程联系起来的；反之，在任何代数曲线上的某个点的坐标，都能够用自守函数来表示，因此可用一个参数（变量）的单值函数来表示。
一条代数曲线是其方程具有类型P（x，y）=0的曲线，其中P（x，y）是x，y 的多项式。举一个简单的例子，中心在原点半径为a的圆的方程是x^2＋y^2=α^2。按照庞加莱的第二把"钥匙"，把x，y表示成一个单参数的，比如说t的自守函数，一定是可行的。因为如果x=acost，y=asint，那么，开平方并相加，就消去了。而三角函数cost，sint是椭圆函数的特例，椭圆函数又是自守函数的特例。
这个广阔的自守函数理论的创立，只不过是庞加莱在30岁以前做出的分析学中许多令人吃惊的东西之一。在32岁时，庞加莱入选科学院。他的提名人说，
庞加莱的研究高于通常的赞扬，而且使我们不可避免地想起雅可比写的有关阿贝尔的话———他解决了在他之前无法想象的问题。确实必须承认，我们正目睹一场数学上的革命，这场革命在每个方面都可以与半个世纪以前，由于椭圆函数的出现所产生的革命相比。
数理天文
自从牛顿以来，天文学对数学家们提出了许多的问题。直到19世纪后期为止，数学家们在解决天文学问题时所用的方法，实际上都是由牛顿、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯发明的那些方法的直接改进。但是贯穿整个19世纪，特别是自从柯西对单复变量函数的发展，以及他本人和其他一些人关于无穷级数收敛性的研究以来，纯数学家的工作中已经积聚了大量未经检验的方法。对于庞加莱，这一大堆未曾用过的数学，好像是世界上用来解决天体力学和行星演化问题的最自然的东西。他从这一大堆东西中挑拣了他喜爱的，改进了它们，创造了他自己的新方法。
庞加莱在数理天文学上的第一次成功，出自他对“n体问题”的研究。对于n=2，这个问题已由牛顿方法完全解决了；著名的“三体问题”（n=3）将在后面谈到；当n超过3时，一些可以适用于n=3的情形的化简可以继续下去。
根据牛顿的万有引力定律，两个质量为m，M，距离为D的质点，以与（m×M）/D^2成正比的力相互吸引。想象空间中随意分布n个质点；假定所有质点的质量、初始运动和相互之间的距离在某一给定的瞬间都是已知的，如果它们按照牛顿定律互相吸引，那么在任意确定的时间间隔之后，它们的位置和运动（速度）怎样呢？
对于数理天文学，一个星系团中的恒星，可以看作是按牛顿定律互相吸引的质点。这样，"n体问题"就相当于在问，从现在起1年或10 亿年后，天空是什么样子。人们认为，如果有足够的观测数据，就可以描述未来的总体位形。然而，恒星的质量不会历经数百万年而不变；但是在牛顿形式下n体问题的某个完全的可计算解，也许会给出足够精确的结果（对人类而言）。
庞加莱关于旋转流动物体问题的研究在天体演化学中具有明显的重要性，它假定行星像一些流动物体。我们从庞加莱自己的概述中摘出的几段话，可以清楚地说明了他在这个困难的学科中用数学说明的天体的性质。
让我们想象一个（旋转）流动物体由于冷却而收缩，但是收缩慢得足以保持均匀，并使旋转在一切部分都一样。
一开始，形状很近似一个球的这团物体变成一个旋转椭球，它将变得越来越扁，然后，在某个确定的时刻，它将变成一个有三个不同轴的椭球。再后来，形状不再是椭球，而成了梨形，最后这一团物体在它的‘腰’部越来越凹进去，最终分成两个隔开的、不同的物体。
上述假说肯定不能应用到太阳系。一些天文学家认为它可能对一些双星是成立的，天琴座β型双星可能会呈现出类似于我们讲到的那些形式的过渡形式。
然后他继续提出该研究对土星光环的应用，他宣称已经证明了只要光环的密度超过土星密度的1/16，光环就是稳定的。可以说，直到1935年这些问题还不能被看作完全解决了。特别是对土星的更严格的数学处理，似乎表明土星还没有被大数学家们完全征服。这些数学家中包括克拉克·麦克斯韦。
三体问题
三体问题通常被认为是n体问题最重要的情形，因为地球、月球和太阳就是一个n=3的的例子。自从欧拉那时以来，三体问题就被认为是整个数学领域中最困难的问题之一。从数学上讲，这个问题归结为解九个微分方程（都是二阶线性的）的联立方程组。拉格朗日成功地把这个方程组约化为更简单的形式。如果确实存在一个解，它将由无穷级数给出。如果这些级数（形式上）满足那些方程，而且对于变量的一些值收敛，那么解就"存在"。主要困难是证明收敛。到1905年为止，已经发现了各种各样的特解，但是尚未证明存在通解。
在1906年和1909年，卡尔·弗里肖夫·宗德曼证明了三体问题存在通解。一个不知道是否可解的问题被证明是可解的了。
庞加莱在数学天文学中最有独创性的工作，总结在他的伟大专著《天体力学新方法》中。接着是1905——1910年的具有更直接实用性质的另一部著作《天体力学教程》，以及再晚一些出版的他的课程讲义《流体质量平衡的图形》，和一本历史性评论著作《关于宇宙论假设》。
达布（庞加莱传记作者），
说它确实开创了天体力学的一个新时代，它可以与拉普拉斯的《天体力学》和达朗贝尔早期关于岁差的著作媲美。沿着拉格朗日开创的分析力学的道路，达布说，……雅可比建立了一个看来是动力学中最完整的理论。50 年来，我们雅克比的那些定理，从各种角度应用它们，研究它们，但是没有添加任何新的东西。
庞加莱在动力学问题的研究中引进或使用了不同的概念∶首先是变分方程，即决定某一问题的无限接近一个已知解的解答的线性微分方程，这个概念以前就有过，而且不仅仅可以应用于力学；其次是积分不变式。再加上其他一些基本概念，特别是涉及所谓“周期解”的那些概念。
即对周期轨道的研究∶比如说，给定一个行星系统，或一个恒星系统，以及该系统中所有成员在某一确定时刻的初始位置和相对速度的完整数据，要求确定在什么条件下该系统会在之后的某一时刻回到它的初始状态，从此无限地重复它的循环运动。例如，太阳系具有这种周期类型吗？
拓扑学
庞加莱的许多天文学研究工作是定性的，而不是定量的，正如一个直觉主义者应有的那样，这个特点把他引向了拓扑学研究，就像它曾引领过黎曼一样。他发表了六篇关于拓扑学的著名论文，它们革新了当时的这个学科。关于拓扑学的研究又被大量应用于天文学。
关于拓扑学的研究可以看另一篇关于“庞加莱猜想”的文章你可能永远无法想象，一个三维数学问题远比其他任意维问题复杂
对数学的看法
庞加莱在一篇1908年发表的文章里，说明了他对数学发现的看法。他说，数学发现的产生，是一个应该使心理学家们非常感兴趣的问题，因为它是人类头脑似乎从外部世界借用得最少的活动，而且通过了解数学思维的过程，我们有希望得知什么是人类头脑中最本质的东西。庞加莱说，
怎么竟会有一些不懂数学的人呢？这应该使我们感到吃惊。如果数学仅仅是建立在逻辑规则的基础上，如同所有正常的人都接受的那样，那么怎么会有这么多人不懂数学呢？
庞加莱认为，逻辑同发现或发明没有什么关系，记忆力起了作用，不过记忆力并不像它可能的那样重要。一个数学证明不只是演绎推理的并列；它是按一定顺序排列的演绎推理，而顺序比组成部分本身更重要。如果有这个顺序的“直觉”，记忆力就算不了什么，因为每一个演绎推理都将自动地占据它在序列中的位置。
然而数学创造不仅在于做出已知事物的新组合。任何人都能做出组合，这样的组合会有无限多个，但是大多数没有意义。创造恰恰在于避免无用的组合，做出那些有用的组合。发明是识别、选择。但是有哪一个艺术家不知道选择是成功的秘密呢？
以上这些可以说明，庞加莱说的许多东西都是建立在一个假定上的，这个假定可能确实是成立的，但是它没有任何科学证据。直截了当地说，他假定人类的大多数都是数学上的低能人。现在来引用一段著名的文字，庞加莱在这段文字中描绘了他自己的一个最伟大的“灵感”是怎样产生的，用意在于证明他的数学创造的理论。它是否起到了这个作用，可以留待读者去判断。
我花了15天时间，竭力证明不存在与我后来称为富克斯函数类似的函数；我那时非常无知。每天坐在我的书桌前，花上一两个小时的时间；我试了很多种组合，什么结果也没有得到。一天傍晚，与我的习惯相反，我喝了黑咖啡；我不能入睡，各种想法蜂拥而至；我觉察到它们互相冲突，直到一对想法，钩在了一起，形成一个稳定的组合。到早晨我已经证实了一类富克斯函数，即从超几何级数中得出的那类函数的存在。我只需要写出结果，这用了我几个小时。
接着我想用两个级数的比来表示这些函数；这个想法是完全有意识的，是想出来的；与椭圆函数的类比指引了我。我问自己，如果这些级数存在的话，它们的性质是什么，我毫无困难地构造出了这些级数，我称它们为富克斯级数。
然后我着手研究一些算术问题，没有什么明显的成绩，也没有怀疑过这些问题会与我以前的那些研究有任何联系。研究得不到成功，使我感到厌烦了，于是我去海边待了几天，思考另一个问题。一天，当我沿着海边的峭壁散步时，那个想法又出现了，又带有那种简明、突然、瞬间确定的特点，这就是三元二次不定型的那些变换，与非欧几何的那些变换是一致的。
……一天，在穿过大街时，挡住我的那道难题的解答突然出现了。我没有试图立刻深入研究它，只是到了我的服役结束以后，我才继续研究这个问题。我已经有了所有的组成部分，只需要装配它们，排列它们就行了。所以我写出了我最后的论文，一挥而就，毫无困难。
庞加莱是希尔伯特计划有力反对者，希尔伯特计划说，全部数学都能用经典逻辑的基本符号重写。庞加莱认为是某种超出逻辑的东西，使数学成了现在的样子。庞加莱是个直觉主义者，他相信至少一些数学概念先于逻辑概念，并且如果两者之间有因果关系，那么正是逻辑必定出自数学，而不会反过来。
晚年
在庞加莱的最后4年中，除了令人苦恼的疾病之外，他生活是平静而幸福的。1906年，他获得了法国科学家可能得到的最高的荣誉（法兰西科学院院长），其他各种荣誉也从全世界向他飞来。所有这一切并没有使庞加莱妄自尊大，因为他是真正谦逊单纯的，不装腔作势。他当然知道，在他的壮年时期他没有一个接近他的对手，但是他也能毫不做作地说，与要知道的东西相比，他什么都不知道。
在1908年于罗马举行的国际数学大会上，庞加莱因病没有能宣读他那激动人心的演讲《数理物理学的未来》。回到巴黎以后，他像以前一样精力充沛地继续工作。但是在1911年，他开始有了可能不久于人世的预感，12月9日他写信给一个数学杂志的编辑，询问是否能接受一篇尚未完成的论文，关于庞加莱认为最最重要的某个问题的论文，
……以我的年纪，我可能不能解决它了，所得到的结果，有可能把研究者们带到新的、意想不到的道路上去，尽管它们使我多次受骗，我认为它们太有前途了，我自愿献出它们……
他已经把两年中大部分时间用来试着去克服他的困难，但都徒劳无功。他猜测的那个定理的证明，能够使他在三体问题上取得惊人的进展；特别是将使他能够证明比以前考虑过的更一般的某些情形的无限多个周期解的存在。这个期望中的证明，在庞加莱的“未完成交响曲”发表以后不久，就由一个年轻的美国数学家乔治·戴维·伯克霍夫证明了。
1912年春天，庞加莱再次病倒，7月9日接受了第二次手术。手术是成功的，但是7月17日，他在穿衣服的时候，因栓塞猝死。他当时59岁，正处在能力的顶峰。当庞加莱处在全盛时期时，物理学正好经过一个循环之后进入了停滞期。在普朗克和爱因斯坦完成了对物理学的革新后，庞加莱已经彻底地沉浸在19世纪的理论中，以至于他在1912年去世之前几乎没有时间去领悟这些奇迹，庞加莱应该晚生30年或多活20年。
来自：老胡聊科学
